В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.
Навигация по странице.
Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.
Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых , так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.
Определение.
Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.
Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .
В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.
В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.
Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.
На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема.
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 -11 классы.
При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.
В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Это условие можно переписать в следующем виде.
Пусть 
- направляющий вектор прямой a
, а 
- нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a
и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось 
и : 
, где t
– некоторое действительное число.
Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве , а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.
Рассмотрим решения нескольких примеров.
Пример.
Докажите перпендикулярность прямой 
и плоскости .
Решение.
Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве , являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, 
- направляющий вектор прямой .
Коэффициенты при переменных x
, y
и z
в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, 
- нормальный вектор плоскости .
Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Так как 
, то векторы и связаны соотношением 
, то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .
Пример.
Перпендикулярны ли прямая 
и плоскость .
Решение.
Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Направляющим вектором прямой является
Мы постоянно видим, что перпендикуляры к одной и той же плоскости параллельны. Например, вертикальные отрезки параллельны между собой. Эти отрезки могут представляться параллельно стоящими столбами или мачтами, стволами стройных сосен в корабельном лесу, колоннами зданий музея (рис. 84) или вертикальными опорами моста и т. д.
Рис. 84
Эта изящная геометрия выражается в теореме, которую мы сейчас докажем.
8.1 Параллельность прямых, перпендикулярных одной плоскости
Доказательство. Пусть две прямые а и b перпендикулярны плоскости а и пересекают её соответственно в точках А и В (рис. 85). Проведём через прямую а и точку В плоскость р и покажем, что прямая b также лежит в плоскости β.
Рис. 85
В плоскости а возьмём отрезок MN, перпендикулярный отрезку АВ и имеющий точку А своей серединой. Так как AM = AN и АВ ⊥ MN, то ВМ = BN.
Возьмём на прямой b любую точку С ≠ В и проведём отрезки СA, CM, CN. Поскольку b ⊥ a, то треугольники СВМ и CBN прямоугольные. Они равны, так как имеют общий катет СВ и равные катеты ВМ и BN. Поэтому CM = CN, т. е. треугольник CMN равнобедренный. Его медиана СА является также его высотой, т. е. СA ⊥ MN.
Итак, три прямые, проходящие через точку А, - АС, АВ и а - перпендикулярны прямой MN. По теореме о плоскости перпендикуляров (п. 7.2) они лежат в одной плоскости - плоскости β, которая проходит через прямые АВ и а.
Поскольку прямая АС лежит в плоскости β, то точка С ∈ β. Значит, прямая b лежит в плоскости β (как и прямая а). Но в плоскости β прямые а и b перпендикулярны одной и той же прямой АВ (так как a ⊥ α, то b ⊥ α и прямая АВ лежит в α). Поэтому b||а.
Доказанная теорема является признаком параллельности прямых в пространстве.
8.2 Параллель к перпендикуляру
В этом пункте мы докажем теорему, обратную теореме о параллельности перпендикуляров.
Доказательство. Пусть две прямые а и b параллельны и а перпендикулярна плоскости а (рис. 86). Прямая b пересекает плоскость α в некоторой точке В (по лемме пункта 3.3). Имеются две возможности:
- b ⊥ α;
- b не перпендикулярна α.
Рис. 86
Предположим, что выполняется вторая. Тогда проведём через точку В прямую с ⊥ α (задача п. 7.3). По теореме о параллельности перпендикуляров с||α. Получилось, что через точку В проходят две прямые, параллельные прямой а, что невозможно.
Итак, b ⊥ α.
Теорема о параллели к перпендикуляру является ещё одним признаком перпендикулярности прямой и плоскости.
Вопросы для самоконтроля
- Какие признаки параллельности прямых вы узнали?
- Какие признаки перпендикулярности прямой и плоскости вам известны теперь?
Занятие 3.2.1
Перпендикулярность прямых.
Перпендикуляр и наклонная.
Теорема о трех перпендикулярах.
Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 градусов.
Обозначение . .
Рассмотрим прямые а и b .
Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую a`, параллельную прямой а, и прямую b` , параллельную прямой b .
Прямые a` и b` пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямыеа и b перпендикулярны.
Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Доказательство:
Возьмем произвольную точку М . Через точку М проведем прямую a` , параллельную прямой а и прямую c` , параллельную прямой c . Тогда угол АМС равен 90°.
Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая a` параллельна прямой а по построению. Значит, прямые a` и b параллельны.
Имеем, прямые и b параллельны, прямые с и параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с – это угол междупрямыми a` и b`, то есть угол АМС , равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Свойство: Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она пересекает эту плоскость.
(Если a ┴ α, тоa ∩ α.)
Напоминание . Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.
Свойства перпендикулярных прямых и плоскости:
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
На первом занятии мы изучали Лемму – если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая параллельная прямая пересекает плоскость. Прямая а пересекаетподуглом 90 0 , т.е перпендикулярна, то и другаяпараллельнаяпрямая – перпендикулярна
Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к плоскости
Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.
Усеченный конус и его свойства. Площадь полной и боковой усеченного конуса.
Билет № 21.
Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями.
Пирамида. Площадь полной и боковой поверхности пирамиды. Объем пирамиды.
Билет № 22.
Теоремы о линии пересечения плоскостей: одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости; каждая из которых проходит через одну из двух параллельных прямых.
Признак выпуклого многогранника. Понятие о развертке многогранника.
Теорема - признак выпуклого многогранника (обратная теорема). Если многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани, то он выпуклый.
Доказательство (от противного):
1) Пусть многогранник М лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Допустим, что многогранник не выпуклый. Тогда найдутся такие две точки А и В, что на отрезке АВ есть точка Х, не принадлежащая М. α - плоскость, содержащая грань выпуклого многогранника. Допустим, что многогранник не лежит по одну сторону от плоскости α. Тогда существуют две такие точки А и В, которые лежат по разные стороны от плоскости α. Соединим точки А и В со всеми точками грани Q, лежащей в плоскости α. Получен многогранник M 1 , состоящий из двух пирамид с вершинами А и В и общим основанием Q. Эти пирамиды образованы отрезками АХ и ВХ, где Х - любая точка грани Q.
2) Поскольку исходный многогранник М выпуклый, то точки отрезков АХ и ВХ, то есть все точки многогранника M 1 являются внутренними точками многогранника М. Иначе многогранник M 1 целиком содержится внутри многогранника М. Это означает, что внутренние точки многоугольника Q лежат внутри многогранника M 1 и многогранника М. Это невозможно, так как многоугольник Q - грань выпуклого многогранника М, а каждая точка этой грани является граничной точкой многогранника. Противоречие. Допущение неверно. Следовательно, точки А и В не лежат по разные стороны от выбранной грани. Многогранник выпуклый по определению.
Поверхностью многогранника является фигура, составленная из конечного числа многоугольников, которые прикладываются друг к другу равными сторонами, и каждая сторона любого из этих многоугольников является общей только для двух из них. Такую фигуру называют замкнутой многогранной поверхностью .
Если модель многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть на плоскости, то получится многоугольник, который называется разверткой данного многогранника .
Многоугольники, составляющие развертку многогранника, называются гранями развертки , стороны этих многоугольников - ребрами развертки , вершины многоугольников - вершинами развертки , причем склеиваемые стороны многоугольников считаются за одно ребро, а склеиваемые вершины - за одну вершину.
Для того чтобы из данной развертки можно было склеить выпуклый многогранник, необходимо выполнение следующих условий:
1) Условие замкнутости : каждая сторона каждого многоугольника развертки должна склеиваться еще с какой-либо одной стороной одного и только одного другого многоугольника (называемого смежным с данным).
2) Условие Эйлера : если развертка состоит из Г граней, В вершин и Р ребер, то выполняется теорема Декарта-Эйлера.
3) Условие выпуклости : сумма внутренних углов многоугольников (граней) при каждой из вершин развертки должна быть меньше 360°.
Билет № 23.
Теорема о прямой, параллельной каждой из двух пересекающихся плоскостей.
Параллелепипед: его свойства и виды. Объем параллелепипеда.
Билет № 24.
Теоремы о прямых, перпендикулярных плоскости.
