Трудность изучения величин в начальной школе обусловлена тем, что ребенок прежде не встречался с различными единицами измерений. Понятие «метр» у него связано не с длиной, а с размером предмета. То же относится и к другим единицам.
Придя в школу, дети уже имеют представление о том, что два предмета могут быть одинаковыми, но в чем-то отличаться друг от друга. Например, два карандаша могут использоваться для рисования.В этом они одинаковы. Но эти же карандаши могут отличаться цветом, размером и формой.
Для сравнения предметов вводятся понятия «больше» и «меньше». И здесь для ребенка очень важны практические действия, которые он выполняет в игровых ситуациях. Сравнивая две бумажные полоски, используем прием наложения, чтобы можно было наглядно увидеть разницу в длине. Делаем вывод, что полоски неодинаковы, одна длиннее другой, то есть длина одной полоски больше .
Можно сравнить два предмета с различной массой — воздушный шарик и коробку с красками. У коробки масса больше, так как она тяжелее шарика. А различную вместимость предметов можно продемонстрировать, перелив воду из небольшой чашечки в стакан. В стакане останется много места, следовательно, его вместимость больше.
Следующим шагом в изучении величин является формирование представлений об измерении . Осознать процесс измерения помогают ситуации проблемного характера.
Например, на листе бумаги закреплены две ленточки. Как можно доказать, что одна лента длиннее другой, если их нельзя наложить друг на друга? Нужно использовать мерку, В качестве мерок предложены картонные планки разных цветов. Используя красную планку, ребенок укладывает ее на первую ленту, осуществляя измерение. Допустим, на первой ленточке мерка поместилась 5 раз. Используя ту же планку, укладываем ее по длине второй ленточки. Результат — 4.
Сравнивая 5 и 4, ребенок делает вывод, что первая ленточка длиннее. Но, если предложить ему измерить ленточки разными планками (одну красной — 2 см, другую — синей 3 см), то результат будет совсем иной. И если одну ленточку измерить двумя разными мерками, результаты будут разными. Почему?
И здесь, как правило, вспоминается мультфильм «38 попугаев», в котором герои так и не смогли измерить длину удава, так как мерили его попугаями, мартышками и слонами. Чем больше использовано подобных ситуаций, тем конкретнее формируется у детей необходимость применять одну мерку. И тогда уже их можно знакомить с сантиметром и линейкой как измерительным инструментом.
Линейку можно использовать для того, чтобы поняли взаимосвязь между числом и величиной. Они убеждаются на опыте, что в результате измерений получаются числа, которые можно складывать, вычитать, умножать и делить.
Введение новых единиц длины тоже связано с практическими действиями. Например, для чего нужен дециметр? Чтобы дети осознали необходимость такой единицы, им обычно предлагается измерить, например, длину стола мерками 1 см и 1 дм. Укладывать сантиметровую мерку долго и неудобно. А меркой 1 дм можно выполнить измерение намного быстрее и легче.
Устанавливается соотношение между единицами и закрепляется практически с помощью заданий на перевод длины из единиц одних наименований в другие.
Так же поэтапно проводится работа по формированию представлений о массе, емкости, времени . Для понятия «масса» можно использовать такую ситуацию. На столе стоят два совершенно одинаковых сосуда, но один пустой, а другой наполнен водой. Попросите ребенка назвать признаки сходства и различия.
«Геометрические
фигуры
и их свойства»
Электронный справочник
Составила: Касьянова Т.В.
Учитель математики и информатики
МОУ «СОШ №3 г. Зеленокумска»
Узнай меня
Простейшие геометрические фигуры
Прямая
- Определение
, а
- Обозначение:
АВ или ВА
а
Прямая
- Точки, принадлежащие прямой.
- Точки, не принадлежащие прямой.
Прямая
- Прямые, пересекающие прямую а
b
k
а
c
- Прямые, не пересекающие прямую а
Отрезок
- Определение
- Обозначение:
CD или DC
Отрезок
- Точки, принадлежащие отрезку АВ
- Точки, не принадлежащие отрезку АВ
m
n
- Прямые, пересекающие отрезок АВ
- Прямые, не пересекающие отрезок АВ
- Определение
- Обозначение:
- Точки, принадлежащие лучу KL
- Точки, не принадлежащие лучу KL
- Лучи, пересекающие луч KL
- Лучи, не пересекающие луч KL
Координатный луч
- Определение
- Координаты точек
Треугольник
Треугольник - простейшая плоская фигура. Три вершины и три стороны. Изучение треугольника породило науку – тригонометрию. Эта наука возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт на местности, конструировании машин и механизмов.
Первое упоминание о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах,
которым более 4000лет,а через 2000 лет - в древней Греции.
Виды треугольников по углам
Тупоугольный
треугольник
Остроугольный
треугольник
Прямоугольный
треугольник
Виды треугольников по сторонам
Разносторонний треугольник
Отрезки треугольника
- Медиана треугольника
- Высота треугольника
- Биссектриса треугольника
- Проверочные задания
Треугольники
- Признаки равенства треугольников
- Признаки подобия треугольников
- Решение задач
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
Прямоугольные треугольники
Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным.
Каждый из таких треугольников называют прямоугольным.
Тупоугольные треугольники
Треугольник, у которого есть тупой угол, называется тупоугольным.
Это – тупоугольные треугольники.
Остроугольные треугольники
Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным.
Это – остроугольные треугольники
4. Равнобедренные треугольники
Треугольник, у которого есть равные стороны, называется равнобедренным.
Каждый из таких треугольников - равнобедренный.
Равносторонние треугольники
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним
Это равносторонние треугольники
Разносторонние треугольники
Треугольник, у которого все стороны имеют разную длину, называется разносторонним
Это разносторонние треугольники
Медиана треугольника
- Отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
- Любой треугольник имеет
три медианы.
- В треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
Высота треугольника
- Перпендикуляр проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
- Любой треугольник имеет три высоты.
- В треугольнике высоты пересекаются в одной точке.
Биссектриса треугольника
- Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
- Любой треугольник имеет три биссектрисы.
- В треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.
На каком рисунке изображена медиана треугольника?
На каком рисунке изображена высота?
На каком рисунке изображена биссектриса?
свойства
равнобедренного
треугольни ка
в 1,5 раза больше ER
на 3см меньше МК
Найдите равнобедренные треугольники
Сформулируйте признак равенства треугольников, который изображен на рисунке
Первый признак равенства треугольников
и углу между ними)
(по двум сторонам
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.
назад
Второй признак равенства треугольников
и двум прилежащим к ней углам)
(по стороне
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
назад
Третий признак равенства треугольников
(по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
назад
Такого признака равенства треугольников не существует
Это подобие
назад
Работа над ошибками
Верно ли доказано равенство треугольников?
Задачи с практическим содержанием
Задача
Лежащий на полу ковер прямоугольной формы, сложили по диагонали.
Выполнив измерения,
указанные на рисунке.
Саша быстро восстановил
размеры ковра. Как он это сделал?
AF = 4м, EF = 3 м
Задача
Докажите равенство
∆ AFE и ∆ CDE.
Указания к решению задач с практическим содержанием
Задача
Докажите равенство
∆ AFE и ∆ CDE.
Самостоятельная работа
Найдите на рисунках равные треугольники и докажите их равенство
Прямоугольный треугольник
катет
гипотенуза
катет
Прямоугольный треугольник
1 признак. По двум катетам
Прямоугольный треугольник
Признаки равенства прямоугольных треугольников
2 признак. По катету и гипотенузе
Прямоугольный треугольник
Признаки равенства прямоугольных треугольников
3 признак. По катету и прилежащему острому углу
Прямоугольный треугольник
Признаки равенства прямоугольных треугольников
4 признак. По гипотенузе и острому углу
Сформулируйте признак подобия треугольников, который изображен на рисунке
Первый признак подобия треугольников
(по двум углам)
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
назад
Второй признак подобия треугольников
(по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
назад
Третий признак подобия треугольников
(по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
назад
Четырехугольник
Четырехугольник – фигура, состоящая из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки – пересекаться.
Выпуклость
Четырехугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.
Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Выпуклый
Невыпуклый
Виды выпуклых четырехугольников
Трапеция
Параллелограмм
Ромб
Прямоугольник
Квадрат
Площади плоских фигур:
- Определение площади
- Свойства площадей
- Формулы площадей четырёхугольников
- Закрепление материала
Параллелограмм
Определение:
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Свойства параллелограмма
Свойства параллелограмма
1)Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
2)У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Признаки параллелограмма:
1) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2) Если в четырехугольнике две стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Прямоугольник
Определение:
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства
прямоугольника
Свойства прямоугольника:
- Свойства параллелограмма.
- Диагонали прямоугольника равны.
Признак прямоугольника:
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Ромб
Определение:
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба
Свойства ромба:
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Квадрат
Определение:
1)Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
2)Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.
- Свойства квадрата
Свойства квадрата
- У квадрата все углы прямые.
2) Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Боковая сторона
Боковая сторона
Трапеция
Основание
Определение:
Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Основание
Виды трапеций
Произвольная
Равнобедренная
Прямоугольная
Понятие площади
- Что принимают за единицу измерения площади?
- В каких единицах измеряется площадь?
- Чем выражается площадь многоугольника, что показывает это число?
Свойства площадей
- Равные многоугольники имеют равные площади
- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
- Площадь квадрата равна квадрату его стороны
1 свойство
то S(F1)=S(F2)
2 свойство
S(F)=S(F1)+S(F2)+S(F3)
3 свойство
S квадрата = a 2
Площади геометрических фигур
S = a x h
Ко всем четырехугольникам подберите формулы для вычисления их площади
Формулы для вычисления площади
Четырехугольники
- Квадрат
- Прямоугольник
- Параллелограмм
- Трапеция
- Треугольник
Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Фигуры, изучаемые планиметрией:
3. Параллелограмм (частные случаи: квадрат, прямоугольник, ромб)
4. Трапеция
5. Окружность
6. Треугольник
7. Многоугольник
1) Точка:
В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других аналогичных характеристик больших размерностей. Таким образом, точкой называют нульмерный объект. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.
Точка в Евклидовой геометрии:
Точка - это одно из фундаментальных понятий геометрии, поэтому "точка" не имеет определения. Евклид определил точку как то, что нельзя разделить.
Прямая - одно из основных понятий геометрии.
Геометрическая прямая (прямая линия) - незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.
3) Параллелограмм:
Параллелограмм- это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Частные случаи:
Квадрат - правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадрат может быть определён как : прямоугольник, у которого две смежные стороны равны;
ромб, у которого все углы прямые (любой квадрат является ромбом, но не любой ромб является квадратом).
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.
4) Трапеция:
Трапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.
1. Трапеция, у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней .
2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.
3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции (MN). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Трапецию можно назвать усеченным треугольником, поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).
5) Окружность:
Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
6) Треугольник:
Треугольник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
7) Многоугольник:
Многоугольник - это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения:
Плоские замкнутые ломаные;
Плоские замкнутые ломаные без самопересечений;
Части плоскости, ограниченные ломаными.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.
Основные свойства прямой и точки:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180О, и только один.
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Свойства треугольника:
Соотношения между сторонами и углами треугольника:
1) Против большей стороны лежит больший угол.
2) Против большего угла лежит большая сторона.
3) Против равных сторон лежат равные углы, и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.
Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника:
1) Сумма двух любых внутренних углов треугольника равна внешнему углу треугольника, смежного с третьим углом.
2) Стороны и углы треугольника связаны между собой также соотношениями, называемыми теоремой синусов и теоремой косинусов.
Треугольник называется тупоугольным, прямоугольным или остроугольным , если его наибольший внутренний угол соответственно больше, равен или меньше 90∘.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника:
1) Прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна прямой, содержащей третью сторону треугольника.
2) Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.
3) Средняя линия треугольника отсекает от треугольника подобный треугольник.
Свойства прямоугольника:
1) противолежащие стороны равны и параллельны друг другу;
2) диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам;
3) сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (четырех) сторон;
4) прямогугольниками одного размера можно полностью замостить плоскость;
5)прямоугольник можно двумя способами разделить на два равных между собой прямоугольника;
6) прямоугольник можно разделить на два равных между собой прямогульных треугольника;
7)вокруг прямоугольника можно описать окружность, диаметр которой равен диагонали прямоугольника;
8) в прямогульник (кроме квадрата) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.
Свойства параллелограмма:
1) Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.
2) Противоположные стороны параллелограмма равны.
3) Противоположные углы параллелограмма равны.
4) Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
5) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
6) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма (d1 и d2) равна сумме квадратов всех его сторон: d21+d22=2(a2+b2)
Свойства квадрата:
1) Все углы квадрата - прямые, все стороны квадрата - равны.
2) Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Свойства ромба:
1. Диагональ ромба делит его на два равных треугольника.
2. Диагонали ромба в точке их пересечения делятся пополам.
3. Противоположные стороны ромба равны между собой, равны и противоположные углы его.
Кроме того, ромб обладает ещё следующими свойствами:
а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
б) диагональ ромба делит угол его пополам.
Свойства окружности:
1) Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
2) Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
3) Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Свойства многоугольника:
1) Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна.
2)Число диагоналей всякого n-угольника равно.
3).Произведение сторон многоугольника на синус угла между ними равна площади многоуголиника.
