Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.
Навигация по странице.
Запись числовых множеств
Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:
- N – множество всех натуральных чисел;
- Z – множество целых чисел;
- Q – множество рациональных чисел;
- J – множество иррациональных чисел;
- R – множество действительных чисел;
- C – множество комплексных чисел.
Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .
Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.
Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.
И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.
Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.
Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .
Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .
Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .
Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .
В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).
Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .
Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.
Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .
Изображение числовых множеств на координатной прямой
На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.
Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R
. Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:
А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:
Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2}
. Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2
, −0,5
и 1,2
будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:
Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:
Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.
И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
{log 2 5, 5}∪(17, +∞)
:
И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5
или x≠−1
, x≠2
, x≠3,7
и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям 
(это множество по сути есть ):
Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Понятие множества относится к аксиоматическим понятиям математики.
Определение . Множество – такой набор, группа, коллекция элементов, которые обладают каким-либо общим для них всех свойством или признаком.
Обозначение: A , B .
Определение . Два множества A и B равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. A = B .
Запись a ∈ A (a ∉ A) означает, что a является (не является) элементом множества A.
Определение . Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается ∅.
Обычно в конкретных случаях элементы всех рассматриваемых множеств берутся из одного, достаточно широкого множества U, которое называется уни- версальным множеством .
Мощность множества обозначается как |M| .
Замечание : для конечных множеств мощность множества – это число элементов.
Определение . Если |A| = |B| , то множества называются равномощными .
Для иллюстрации операций над множествами часто используются диаграммы Эйлера – Венна . Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U , а внутри его – кругов, представляющих множества.
Над множествами определены следующие операции:
Объединение А∪В: = {х/х∈А∨х∈В}
Пересечение А∩В: = {х/х∈А&х∈В}
Разность А\В: = {х/х∈А&х∈В}
Дополнение A U \ A: = {x / x U & x ∉ A}
Задача1.1. Дано: а)A,B⊆Z, A = {1;3;4;5;9}, B = {2;4;5;10}. б)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].
Решение.
a) A∩B = {4;5}, A∪B = {1;2;3;4;5;9;10}, A \ B = {1;3;9}, B \ A = {2;10}, B = Z \ B ;
б) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , A\B = [-3,2], B\A = ,B Z\B = (-∞,2]∪(10,+∞).
1) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {1;2;5;7;9;11}, B = {1;4;6;7}.
б) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].
Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .
2) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {3;6;7;10}, B = {2;3;10;12}.
б) A, B ⊆ R, A = .
Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .
3) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {1;2;5;7;9;11}, B = {1;4;6;7}.
б) A, B ⊆ R, A = .
4) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {0;4;6;7}, B = {-3;3;7}.
б)A,B ⊆ R, A = [-15;0), B = [-2;1].
Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, A .
5) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {0;9}, B = {-6;0;3;9}.
б) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].
Найти: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .
6) Дано: а)A, B ⊆ Z, A = {0;6;9}, B = {-6;0;3;7}.
б) A, B ⊆ R, A = [-8;3), B = .
Найти: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .
7) Дано: а)A, B ⊆ Z, A = {-1;0;2;10}, B = {-1;2;9;10}.
б)A, B ⊆ R, A = [-10;9), B = [-5;15].
Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .
8) Дано: а) A,B ⊆ Z, A = {1;2;9;37}, B = {-1;1;9;11;15}.
б) A, B ⊆ R, A = [-8;1), B = [-5;7].
Найти: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .
9) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {-1;0;9;17}, B = {-1;1;9;10;25}.
б) A, B ⊆ R, A = [-4;9), B = [-5;7].
Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .
10) Дано: а)A,B⊆Z, A = {1;7;9;17}, B = {-2;1;9;10;25}.
б) A,B⊆R, A = .
Найти: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, A .
Задача1.1. Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождество:
A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).
Решение.
Построим диаграммы Венна.
Левая часть равенства представлена на рисунке а), правая – на рисунке б). Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей данного соотношения.
Задачи для самостоятельного решения
Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождества:
1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);
2) A ∪ (B\C) = (A ∩ B)\C;
3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);
4) (A\B) \C = (A\B) \ (B\C);
5) (A\B) \C = (A\B) ∪ (A∩C);
6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \C;
8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
9) (A ∪ B) \C = (A\C) ∪ (B\C)
10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B
Задача 1.3. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги A, B, C. Результаты опроса оказались таковы: книгу A читали 25 учеников; книгу B читали 22 ученика; книгу C читали 22 ученика; книги A или B читали 33 ученика; книги A или C читали 32 ученика; книги B или C читали 31 ученик; все книги читали 10 учеников. Определите: 1) Сколько учеников прочли только книгу A?
2) Сколько учеников прочли только книгу B?
3) Сколько учеников прочли только книгу C?
4) Сколько учеников прочли только по одной книге?
5) Сколько учеников прочли хотя бы одну книгу?
6) Сколько учеников не прочитали ни одной книги?
Решение.
Пусть U - множество учеников в классе. Тогда
|U| = 40, |A| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10
Попробуем проиллюстрировать задачу.
Разобьём множество учеников, прочитавших хотя бы одну книгу, на семь подмножеств k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 , где
k 1 - множество учеников, прочитавших только книгу A;
k 3 - множество учеников, прочитавших только книгу B;
k 7 - множество учеников, прочитавших только книгу C;
k 2 - множество учеников, прочитавших книги A и B и не читавших книгу C;
k 4 - множество учеников, прочитавших книги A и C и не читавших книгу B;
k 6 - множество учеников, прочитавших книги B и C и не читавших книгу A;
k 5 - множество учеников, прочитавших книги A, B и C.
Вычислим мощность каждого из этих подмножеств.
|k 2 | = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C|; |k 4 | = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C|;
|k 6 | = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k 5 | = |A ∩ B ∩ C|.
Тогда |k 1 | = |A| - |k 2 | - |k 4 | - |k 5 |, |k 3 | = |B| - |k 2 | - |k 6 | - |k 5 |, |k 7 | = |C| - |k 6 | - |k | - |k 5 |.
Найдём |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.
|A ∩ B| = | A| +| B| - |A ∩ B| = 25 + 22 - 33 = 14 ,
|A ∩ C| = |A| + |C| - |A ∩ C| = 25 + 22 - 32 = 15 ,
|B ∩ C| = |B| + |C| - |B ∩ C| = 22 + 22 - 31 = 13 .
Тогда k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 = 5; k 7 = 22-5-3-10 = 4;
|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B) ∪ C| .
Из рисунка ясно, что |C| - |(A ∪ B) ∪ C| = |k 7 | = 4, тогда |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 – число учеников, прочитавших хотя бы одну книгу.
Так как в классе 40 учеников, то 3 ученика не прочитали ни одной книги.
Ответ:- 6 учеников прочли только книгу A.
- 5 учеников прочли только книгу B.
- 4 ученика прочли только книгу C.
- 15 учеников прочли только по одной книге.
- 37 учеников прочли хотя бы одну книгу из A, B, C.
- 3 ученика не прочитали ни одной книги.
Задачи для самостоятельного решения
1) В течение недели в кинотеатре шли фильмы A, B, C . Каждый из 40 школьни- ков видел либо все 3 фильма, либо один из трёх. Фильм A видели 13 школьников. Фильм B видели 16 школьников. Фильм C видели 19 школьников. Сколько школьников видели только по одному фильму?
2) В международной конференции участвовало 120 человек. Из них 60 владеют русским языком, 48 – английским, 32 – немецким, 21 – русским и английским, 19 – английским и немецким, 15 – русским и немецким, а 10 человек владеют всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?
3) В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким из трёх видов спорта: лёгкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют разряды по лёгкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Определите количество школьников из этой команды, имеющих разряды по всем видам спорта, если по лёгкой атлетике и плаванию разряды имеют 2 человека, по лёгкой атлетике и гимнастике – 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека.
4) Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский – 28; немецкий – 30; французский – 42; испанский и немецкий – 8; испанскии и французский – 10; немецкий и французский – 5; все три языка – 3. Сколько студентов изучает немецкий язык в том и только том случае, если они изучают французский язык? 5) Опрос 100 студентов выявил следующие данные о числе студентов, изучающих различные иностранные языки: только немецкий – 18; немецкий, но не испанский – 23; немецкий и французский – 8; немецкий – 26; французский – 48; французский и испанский – 8; никакого языка – 24. Сколько студентов изучают немецкий и испанский язык?
6) В отчёте об опросе 100 студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих различные языки, таково: все три языка – 5; немецкий и испанский – 10; французский и испанский – 8; немецкий и французский – 20; испанский – 30; немецкий – 23; французский – 50. Инспектор, представивший этот отчёт, был уволен. Почему?
7) В международной конференции участвовало 100 человек. Из них 42 владеют французским языком, 28 – английским, 30 – немецким, 10 – французским и английским, 8 – английским и немецким, 5 – французским и немецким, а 3 чело- века владеют всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?
8) Студенты 1 курса, изучающие информатику в университете, могут посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 25 из них предпочли изучать бухгалтерию, 27 выбрали бизнес, а 12 решили заниматься туризмом. Кроме того, было 20 студентов, слушающих курс бухгалтерии и бизнеса, 5 изучали бухгалтерию и туризм, а 3 – туризм и бизнес. Известно, что никто из студентов не отважился посещать сразу 3 дополнительных курса. Сколько студентов посещали, по крайней мере, 1 дополнительный курс?
9) В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. Задачу по алгебре решили 20 человек, по геометрии – 18, по тригонометрии – 18 человек. Задачи по алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 8 человек, по геометрии и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили толь- ко две задачи?
10) В классе 40 учеников. Из них по русскому языку имеют тройки 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. 4 ученика имеют тройки только по одному русскому языку, 4 – только по математике и 11 – только по физике. По русскому, математике и физике имеют тройки 5 учащихся. 7 человек имеют тройки по математике и физике. Сколько учеников имеют тройки по двум из трёх предметов?
Определение. Множество - это совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.
Элементы, составляющие множество, обычно обозначаются малыми латинскими буквами, а само множество - большой латинской буквой. Знак ∈ используется для обозначения принадлежности элемента множеству. Запись a∈A означает, что элемент a принадлежит множеству A. Если некоторый объект x не является элементом множества A, пишут x∉A. Например, если A - это множество четных чисел, то 2∈A, а 1∉A. Множества A и B считаются равными (пишут A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.
Если множество содержит конечное число элементов, его называют конечным; в противном случае множество называется бесконечным. Если множество A конечно, символом |A| будет обозначаться число его элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅. Очевидно, |∅|=0.
Пример . Пусть A - множество действительных решений квадратного уравнения x 2 + px + q = 0. Множество A конечно, |A|≤2. Если дискриминант D = p 2 -4q отрицателен, множество A пусто. Множество действительных решений квадратичного неравенства x 2 +px+q≤0 конечно, если D≤0, и бесконечно, если D>0.
Конечное множество может быть задано перечислением всех его элементов,
либо описываются их свойства. Если множество A состоит из элементов x, y, z, пишут A ={x, y, z,}. Например, A = {0, 2, 4, 6, 8} - множество четных десятичных цифр или - множество натуральных чисел, удовлетворяющих условию х + 2 = 1.
Введем используемое в дальнейшем понятие индексированного семейства множеств. Пусть I - некоторое множество, каждому элементу которого i сопоставлено однозначно определенное множество A i . Элементы множества I называют индексами, а совокупность множеств A i называют индексированным семейством множеств и обозначают через (A i) i ∈ I .
Говорят, что множество B является подмножеством множества A и пишут B⊂A, если всякий элемент множества B является элементом множества A. Например, множество натуральных чисел N является подмножеством множества целых чисел Z, а последнее в свою очередь является подмножеством множества рациональных чисел Q, то есть N⊂Z и Z⊂Q, или, короче, N⊂Z⊂Q. Легко видеть, что если B⊂A и A⊂B, то множества A и B состоят из одних и тех же элементов, и, значит, A=B, в противном случае . Наряду с обозначением B⊂A используется также A⊃B, имеющее тот же смысл.
Подмножества множества A, отличные от ∅ и A, называются собственными. Пустое множество и множество А называются несобственными подмножествами множества А. Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном , или множеством-степенью , и обозначается через Р(А) или 2 А.
Пример . Пусть A = {a, b, c}. Тогда множество 2 A состоит из следующих элементов:
{∅}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
Если множество A конечно и содержит n элементов, то это множество имеет 2 n подмножеств, то есть |2 A |=2 | A | .
Все операции над множествами можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Если некоторое универсальное множество, содержащее как подмножества все другие множества, обозначить U и изобразить его в виде всей плоскости, то любое множество можно изобразить в виде части плоскости, т.е. в виде некоторой фигуры, лежащей на плоскости.
Объединением или суммой множеств А и В называют такое множество С, которое состоит из элементов множества А, или элементов множества В, или из элеметов обоих этих множеств, т.е. . Например, если A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то A∪B = {1, 2, 3, 4}.
Пересечением или произведением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам, т.е. . Например, если A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то A∩B = {2, 3}.
Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в А и одновременно не входят в В, т.е.
Например, если A = {1, 2, 3} и B ={2, 3, 4}, то A\B = {1}.
Если, в частности, А - подмножество U, то разность U \ A обозначается и называется дополнением множества А.
Симметрической разностью (кольцевой суммой) множеств А и В называется множество , т.е. . Например, если A ={1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то AΔB = {1, 4}.
Законы алгебры множеств:
1. Коммутативный закон : .
2. Ассоциативный закон : .
3. Дистрибутивный закон :
4. Законы идемпотентности : , в частности
5. Законы поглощения :
6. Законы де Моргана (двойственности) :
7. Закон двойного дополнения :
8. Закон включения :
9. Закон равенства :
Пример 1. Проверим первый из законов де Моргана. Покажем сначала, что. Предположим, что . Тогда x∉A∩B, так что x не принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Таким образом, x∉A или x∉B, то есть или .
Это означает, что. Мы показали, что произвольный элемент множества является элементом множества. Следовательно, . Обратное включение доказывается аналогично. Достаточно повторить все шаги предыдущего рассуждения в обратном порядке.
Пример 2. Доказать включения
Решение. Легче всего это сделать по диаграмме Эйлера-Венна
Из любой пары элементов a и b (не обязательно различных) можно составить новый элемент - упорядоченную пару (a,b). Упорядоченные пары (a,b) и (c,d) считают равными и пишут (a,b) = (c,d), если a = c и b = d. В частности, (a,b) = (b,a) лишь в том случае, когда a=b. Элементы a и b называют координатами упорядоченной пары (a,b) .
Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар (a,b), где a∈A и b∈B. Прямое произведение множеств A и B обозначается через A×B. В соответствии с определением имеем
A×B = {(a,b)| a∈A, b∈B}. Произведение называется декартовым квадратом.
Пример 3. Даны множества А = {1; 2}; B = {2; 3}. Найти .
Решение.
Таким образом, декартово произведение не подчиняется коммутативному закону.
Пример 4. Пусть Из каких элементов состоят множества ?
Решение. Запишем множества А; В; С, перечислив их элементы:
А = {3; 4; 5; 6}; B = {2; 3}; C = {2}. Тогда Подобно парам, можно рассматривать упорядоченные тройки, четверки и, вообще, упорядоченные наборы элементов произвольной длины. Упорядоченный набор элементов длины n обозначается через (a 1 , a 2 , a n). Для таких наборов используется также название кортеж длины n. Допускаются в том числе и кортежи длины 1 - это просто одноэлементные множества. Кортежи (a 1 , a 2 , a n) и (b 1 , b 2 , b n) считаются равными, если a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a n = b n .
По аналогии с произведением двух множеств определим прямое произведение множеств A 1 , A 2 , A n как множество всех кортежей (a 1 , a 2 , a n) таких, что a 1 ∈A 1 , a 2 ∈A 2 , a n ∈A n . Обозначается прямое произведение через A 1 × A 2 × A n .
Понятие прямого произведения может быть обобщено на случай произвольного семейства множеств (A i) i ∈ I . Назовем I-кортежем набор элементов (A i) i ∈ I такой, что a i ∈A i для каждого i∈I. Прямое произведение семейства множеств (A i) i ∈ I - это множество, состоящее из всех I-кортежей. Для обозначения этого множества используется символ Π i ∈ I A i и его разновидности, подобные тем, которые применяются для обозначения пересечения и объединения семейства множеств.
В случае, когда множество A умножается само на себя, произведение называют (декартовой) степенью и используют экспоненциальные обозначения. Так, в соответствии с определением A × A = A 2 , A × A × A = A 3 и т. д. Считается, что A 1 = A и A 0 = ∅.
Непосредственно из определений следует справедливость следующих соотношений (A∪B) × C = (A × C) ∪ (B × C);
(A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);
(A\B) × C = (A × C)\(B × C).
1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.:ИНФРА-М, Новосибирск, 2002.
2. Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика. Харьков, «Торсинг», 2003.
3. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.:Наука, 1973.
4. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001.
Основные понятия теории множеств
Понятие множества является фундаментальным понятием современной математики. Мы будем считать его первоначальным и теорию множеств строить интуитивно. Дадим описание этого первоначального понятия.
Множество – это совокупность объектов (предметов или понятий), которая мыслится как единое целое. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.
Можно говорить о множестве студентов первого курса математического факультета, о множестве рыб в океане и т.д. Математика обычно интересуется множеством математических объектов: множество рациональных чисел, множество прямоугольников и т.д.
Множества будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а его элементы малыми.
Если – элемент множества M , то говорят « принадлежит M » и пишут: . Если некоторый объект не является элементом множества, то говорят « не принадлежит M » и пишут (иногда ).
Существует два основных способа задания множеств: перечисление
его элементов и указание характеристического свойства
его элементов. Первый из этих способов применяется, в основном, для конечных множеств. При перечислении элементов рассматриваемого множества его элементы обрамляются фигурными скобками. Например, 
обозначает множество, элементами которого являются числа 2, 4 , 7 и только они. Этот способ применим не всегда, так как, например, множество всех действительных чисел таким образом задать невозможно.
Характеристическое свойство элементов множества M – это такое свойство, что всякий элемент, обладающий этим свойством, принадлежит M , а всякий элемент, не обладающий этим свойством, не принадлежит M . Множество элементов, обладающих свойством , обозначается так:
или 
.
Наиболее часто встречающиеся множества имеют свои особые обозначения. В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений:
N = – множество всех натуральных чисел;
Z = – множество всех целых чисел;
– множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных (вещественных) чисел, т.е. рациональных чисел (бесконечных десятичных периодических дробей) и иррациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей);
– множество всех комплексных чисел.
Приведем более специальные примеры задания множеств с помощью указания характеристического свойства.
Пример
1.
Множество всех натуральных делителей числа 48 можно записать так: 
(запись используется только для целых чисел , и означает, что делится на ).
Пример 2. Множество всех положительных рациональных чисел, меньших 7, записывается следующим образом: .
Пример 3. – интервал действительных чисел с концами 1 и 5; – отрезок действительных чисел с концами 2 и 7.
Слово «множество» наводит на мысль, что оно содержит много элементов. Но это не всегда так. В математике могут рассматриваться множества, содержащие только один элемент. Например, множество целых корней уравнения 
. Более того, удобно говорить о множестве, не содержащем ни одного элемента. Такое множество называется пустым
и обозначается через Ø. Например, пустым является множество действительных корней уравнения .
Определение 1. Множества и называются равными (обозначается А=В ), если эти множества состоят из одних и тех же элементов.
Определение 2. Если каждый элемент множества принадлежит множеству , то называют подмножеством множества .
Обозначения: (« включается в »); (« включает »).
Ясно, что Ø и само множество являются подмножествами множества . Всякое другое подмножество множества называется его правильной частью . Если и , то говорят, что « А – собственное подмножество »или что «А строго включается в » и пишут .
Очевидно следующее утверждение: множества и равны тогда и только тогда, когда и .
На этом утверждении основан универсальный метод доказательства равенства двух множеств : чтобы доказать, что множества и равны, достаточно показать, что , а является подмножеством множества .
Это наиболее употребительный способ, хотя и не единственный. Позже, познакомившись с операциями над множествами и их свойствами, мы укажем другой способ доказательства равенства двух множеств – с помощью преобразований .
В заключение заметим, что часто в той или иной математической теории имеют дело с подмножествами одного и того же множества U , которое называют универсальным в этой теории. Например, в школьной алгебре и математическом анализе универсальным является множество R действительных чисел, в геометрии – множество точек пространства.
Операции над множествами и их свойства
Над множествами можно выполнять действия (операции), напоминающие сложение, умножение и вычитание.
Определение 1. Объединением множеств и называется множество, обозначаемое через , каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств или .
Сама операция , в результате которой получается такое множество, называется объединением.
Краткая запись определения 1:
Определение 2. Пересечением множеств и называется множество, обозначаемое через , содержащее все те и только те элементы, каждый из которых принадлежит и , и .
Сама операция , в результате которой получается множество , называется пересечением.
Краткая запись определения 2:
Например, если 
, 
, то 
, .
Множества можно изображать в виде геометрических фигур, что позволяет наглядно иллюстрировать операции над множествами. Такой метод был предложен Леонардом Эйлером (1707–1783) для анализа логических рассуждений, широко применялся и получил дальнейшее развитие в трудах английского математика Джона Венна (1834–1923). Поэтому такие рисунки называют диаграммами Эйлера-Венна .
Операции объединения и пересечения множеств можно проиллюстрировать диаграммами Эйлера–Венна следующим образом:
 |  |
– заштрихованная часть; – заштрихованная часть.
Можно определить объединение и пересечение любой совокупности множеств , где – некоторое множество индексов.
Определение . Объединением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств .
Определение . Пересечением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит любому из множеств .
В случае, когда множество индексов конечно, например, 
, то для обозначения объединения и пересечения совокупности множеств в этом случае обычно пользуются обозначениями:
и 
.
Например, если 
, 
, 
, то , .
С понятиями объединения и пересечения множеств неоднократно встречаются в школьном курсе математики.
Пример 1. Множество М решений системы неравенств
является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы: .
Пример 2. Множество М решений системы
является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы. Множество решений первого уравнения – множество точек прямой , т.е. . Множество . Множество состоит из одного элемента – точки пересечения прямых.
Пример 3. Множество решений уравнения
где 
, является объединением множеств решений каждого из уравнений , , т.е.
Определение 3. Разностью множеств и называется множество, обозначаемое через , и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат , но не принадлежат .– заштрихованная часть; . с операциями объединения, пересечения и дополнения. Полученную математическую структуру называют алгеброй множеств илиалгеброй Булямножеств (вчесть ирландского математика и логика Джорджа Буля (1816–1864)). Через будем обозначать множество всех подмножеств произвольного множества и называть его булеаном множества .
Перечисленные ниже равенства справедливы для любых подмножеств A, B, C универсального множества U. Поэтому их и называют законами алгебры множеств.
Теория множеств.
Множества. Пустое множество. Универсальное множество. Подмножества. Собственное подмножество. Способы задания множеств. Мощность множества. Равномощные множества. Конечные и счётные множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность). Законы алгебры множеств. Характеристические функции. Декартово произведение множеств. Отношения и свойства отношений. Функции на множествах.
Определение множества.
Множество - это совокупность определённых различаемых объектов, причём таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет.
Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами, а элементы множества - строчными. Элементами множеств могут быть любые объекты, например, числа, символы, слова, объекты реального мира. В частности, элементами множества могут быть другие множества.
Например:
A = { a, b, c } - множество A состоящее из 3 элементов
N = { 1, 2, 3, … } - множество N целых чисел
Элементы множества являются уникальными, то есть, один и тот же элемент не может включаться в множество несколько раз (в отличие от векторов и мультимножеств). Считается, что при добавлении в множество элемента, который в нем уже присутствует, множество не меняется.
Порядок записи элементов множества не является существенным (в отличие от записи элементов векторов, где порядок важен).
Таким образом, множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Если некоторый объект является элементом множества , то этот факт записывается следующим образом: и читается «x принадлежит А». Аналогично, если элемент не является элементом множества , используется запись («y не принадлежит А»).
Пустое множество – это множество, не содержащее элементов. Пустое множество может быть обозначено с использованием фигурных скобок: = { }. Однако, множество B = { } не является пустым: это множество, содержащее один элемент, который является пустым множеством.
Универсальное множество Е – множество всех объектов, рассматриваемых в данной задаче.
Конечные и бесконечные множества. Если количество элементов множества конечно (то есть существует натуральное число, равное количеству элементов множества), то такое множество называется конечным. В противном случае множество называется бесконечным.
Мощность множества или кардинальное число |A| (иногда card (A)). Мощность множества является обобщением понятия количества элементов на бесконечные множества. Для конечных множеств мощность равна количеству элементов множества.
Мощность пустого множества по определению равна нулю: .
Равномощные множества – это множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие.
Счётное множество – множество, равномощное множеству натуральных чисел.
Множество А называют подмножеством множества B (обозначается либо ) если все элементы, которые принадлежат множеству A, так же принадлежат и множеству B.
В этом случае B называют надмножеством A
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Любое множество является подмножеством самого себя:
Любое множество является подмножеством универсального множества:
Два множества A и B равны тогда и только тогда, когда A является подмножеством B и B является подмножеством A.
Если множество A является подмножеством множества B, но A и B не равны, то в этом случае говорят что А является собственным подмножеством B (обозначается ).
Некоторые специальные множества : (Натуральные числа), (целые числа), (вещественные числа), (рациональные числа),
