Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции , а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.
За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна . И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)
Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.
Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:
– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)
– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:
В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций , в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей , на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.
Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?
– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что» , в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;
– для всех «эн», бОльших чем ;
– знак модуля означает расстояние , т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.
Ну как, убийственно сложно? =)
После освоения практики жду вас в следующем параграфе:
И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия : «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».
Хорошо, распишем последовательность
:
Нетрудно уловить, что подпоследовательность
бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами 
– к «единице».
А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный .
Примечание : у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.
Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров) , но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.
Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного
количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности 
половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.
Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро , который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями , чем значительно продвинул теорию.
Рассмотрим некоторую точку и её произвольную
-окрестность:
Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно
. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все)
некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля
: .
Определение : число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:
Или короче: , если
Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.
Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой .
Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт » – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.
Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .
Закрепим материал практикой:
Пример 1
Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .
Примечание : у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .
Решение
: рассмотрим произвольную
найдётся ли
номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:
Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .
Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:
Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства
и Область определения функции
. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:
Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:
Примечание : иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.
А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.
Вывод
: для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение 
. Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать
.
К слову, из полученного результата 
хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное
число членов.
Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.
Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:
Пример 2
Решение : по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!) .
Рассмотрим произвольную
-окрестность точки и проверим, существует ли
натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:
Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:
Модуль уничтожает знак «минус»:
Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:
Перетасовка:
Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим
неравенство модулем:
Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону.
Извлекаем корень:
И округляем результат:
Вывод
: т.к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение 
, такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство 
. Таким образом, 
по определению. Что и требовалось доказать
.
Советую особо
разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство 
ни в коем случае нельзя ослаблять
, вычитая, скажем, единицу:
Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 3
Используя определение последовательности, доказать, что 
Краткое решение и ответ в конце урока.
Если последовательность бесконечно велика
, то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого
числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность»
:
Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.
Дежурный пример:
И сокращённая запись: , если
Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.
После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно) . Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.
Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!
Строгое определение предела функции
Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа) , соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж) . Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.
Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не
определена:
Такой выбор подчёркивает суть предела функции : «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение , при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.
Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.
Рассмотрим последовательность 
точек (на чертеже отсутствуют)
, принадлежащих промежутку
и отличных от
, которая сходится
к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.
Предел функции по Гейне
для любой
последовательности точек 
(принадлежащих
и отличных от )
, которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)
Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность) . По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.
Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз) . Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.
Предел функции по Коши : число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой) , существует -окрестность точки , ТАКАЯ , что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки) .
Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)
Короткая запись: , если
В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.
! Внимание : если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши , пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки » . Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.
Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!) , который также называют «предел на языке »:
Пример 4
Используя определение предела, доказать, что 
Решение : функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.
Примечание : величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение
Рассмотрим произвольную
-окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли
-окрестность, ТАКАЯ
, что из неравенства 
следует неравенство 
.
Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен
)
Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число называется пределом последовательности , если для любого существует номер , зависящий от такой, что для любого выполняется неравенство .
Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.
Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые ирациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.
В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.
Определение
Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся . Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности .
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности .
Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.
Числовая последовательность.
Как ?
На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности . Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики . Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов . Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре.
Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети:
Понятие числовой последовательности
Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.
Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности
располагаются строго в определённом порядке
. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая
последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности
можно присвоить порядковый номер:
С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число . Тогда говорят, что задана числовая последовательность .
Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.
При этом:
называют первым членом
последовательности;
– вторым членом
последовательности;
– третьим членом
последовательности;
…
– энным
или общим членом
последовательности;
…
На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена
, например:
– последовательность положительных чётных чисел:
Таким образом, запись однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям 
в соответствие ставятся числа . Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:
Последовательность положительных нечётных чисел :
Ещё одна распространённая последовательность :
Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.
На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию
. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть – первый член, а – шаг
арифметической прогрессии. Тогда:
– второй член данной прогрессии;
– третий член данной прогрессии;
– четвертый;
– пятый;
…
И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной
формулой
Примечание : в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.
Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до , нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: 
. В нашем случае:
Подставьте в формулу натуральные номера и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.
Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии , энный член которой задаётся формулой , где – первый член , а – знаменатель прогрессии . В заданиях по матану первый член частенько равен единице.
прогрессия задаёт последовательность 
;
прогрессия 
задаёт последовательность ;
прогрессия 
задаёт последовательность 
;
прогрессия 
задаёт последовательность 
.
Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.
Прогрессию называют бесконечно убывающей , если (последние два случая).
Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:
Последовательность на математическом жаргоне называют «мигалкой»:
Таким образом, члены последовательности могут повторяться . Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.
А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»:
Пригласим на танец незамысловатую подругу :
Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко
приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:
Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой .
В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:
Изобразим на числовой прямой члены последовательности и симметричную относительно нуля (предела) -окрестность:
Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число является пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной -окрестности (сколь угодно малой)
внутри неё окажется бесконечно много
членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное
число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью
зайти в данную окрестность.
Последовательность тоже бесконечно малА: с той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.
Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:
Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».
Если у последовательности существует конечный предел , то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при ). В противном случае – расходящейся , при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой . Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:
Последовательности 
являются бесконечно большими
, поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»:
Арифметическая прогрессия с первым членом и шагом тоже бесконечно великА:
К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу бесконечно добавляется . Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.
У последовательностей схожая судьба:
Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА
:
Если знаменатель геометрической прогрессии , то последовательность бесконечно великА:
Если же , например, , то предела вообще не существует, так как члены без устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.
После небольшого разоблачения 
становится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
Действительно, для последовательности легко подобрать -окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью
заходить в ЛЮБУЮ -окрестность своего предела. Вывод: предела не существует.
Факториал является бесконечно большой
последовательностью:
Причём, растёт он как на дрожжах, так, представляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.
С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:
А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений
и Замечательные пределы
. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:
В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности»
– в сторону увеличения натуральных номеров 
.
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.
Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.
По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.
Начнём с прогрессий:
Пример 1
Найти предел последовательности
Решение
: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:
Так как , то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле .
Оформляем решение:
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае: – первый член, – знаменатель прогрессии.
Пример 2
Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел
Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости в числителе потребуется применить формулу суммы первых членов арифметической прогрессии:
, где – первый, а – энный член прогрессии.
Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость – одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций
!
А может быть что-нибудь посложнее наподобие 
? Ознакомьтесь с Примером №3 статьи Методы решения пределов
.
С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.
Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость . Как решать пределы вроде можно узнать из Примеров №11-13 той же статьи.
Чтобы разобраться с пределом , обратитесь к Примеру №7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.
Следующие четыре примера (№№3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:
Пример 3
Найти предел последовательности
Решение
: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:
(1) В числителе дважды используем формулу .
(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.
(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на («эн» в старшей степени).
Как видите, ничего сложного.
Пример 4
Найти предел последовательности
Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.
В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:
Пример 5
Найти предел последовательности
Решение
оформим по той же схеме:
Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.
Пример 9
Найти предел последовательности
Приводятся формулировки основных теорем и свойств числовых последовательностей, имеющих предел. Содержится определение последовательности и ее предела. Рассмотрены арифметические действия с последовательностями, свойства, связанные с неравенствами, критерии сходимости, свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
СодержаниеСвойства конечных пределов последовательностей
Основные свойства
Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.
Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a , за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности .
Теорема единственности предела числовой последовательности . Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена .
Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C : , то эта последовательность имеет предел, равный числу C .
Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов , то это не повлияет на ее сходимость.
Доказательства основных свойств
приведены на странице
Основные свойства конечных пределов последовательностей >>> .
Арифметические действия с пределами
Пусть существуют конечные пределы и последовательностей и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
В случае частного предполагается, что для всех n
.
Если , то .
Доказательства арифметических свойств
приведены на странице
Арифметические свойства конечных пределов последовательностей >>> .
Свойства, связанные с неравенствами
Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .
Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) , то и предел a также принадлежит этому интервалу: .
Если и и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то .
Если и, начиная с некоторого номера, ,
то .
В частности, если, начиная с некоторого номера, ,
то
если ,
то ;
если ,
то .
Если и , то .
Пусть и . Если a < b , то найдется такое натуральное число N , что для всех n > N выполняется неравенство .
Доказательства свойств, связанных с неравенствами
приведены на странице
Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами >>> .
Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности
Бесконечно малая последовательность
Бесконечно малая последовательность - это последовательность, предел которой равен нулю:.
Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.
Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Для того, чтобы последовательность имела предел a , необходимо и достаточно, чтобы , где - бесконечно малая последовательность.
Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей
приведены на странице
Бесконечно малые последовательности - определение и свойства >>> .
Бесконечно большая последовательность
Бесконечно большая последовательность - это последовательность, имеющая бесконечно большой предел. То есть если для любого положительного числа существует такое натуральное число N , зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство.
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности.
Если ,
начиная с некоторого номера N
,
то
.
Если же ,
то
.
Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N , определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля элементами, то последовательность является бесконечно большой.
Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.
Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом (), а - бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.
Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами
приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>> .
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей
приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>> .
Критерии сходимости последовательностей
Монотонные последовательности
Строго возрастающая последовательность - это последовательность, для всех элементов которой выполняются неравенства:.
Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.
Строго убывающая последовательность:
.
Неубывающая последовательность:
.
Невозрастающая последовательность:
.
Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.
Монотонная последовательность - это неубывающая или невозрастающая последовательность.
Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу: . Невозрастающая последовательность ограничена сверху: .
Теорема Вейерштрасса . Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M - некоторое число.
Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:
Для того чтобы монотонная последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .
Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.
Доказательство теоремы Вейерштрасса
приведено на странице
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности >>> .
Критерий Коши сходимости последовательности
Условие КошиПоследовательность удовлетворяет условию Коши , если для любого существует такое натуральное число , что для всех натуральных чисел n и m , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
.
Фундаментальная последовательность - это последовательность, удовлетворяющая условию Коши.
Критерий Коши сходимости последовательности . Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.
Доказательство критерия сходимости Коши
приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>> .
Подпоследовательности
Теорема Больцано - Вейерштрасса . Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности - бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .
Доказательство теоремы Больцано - Вейерштрасса
приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>> .
Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы последовательностей >>>.
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.
