(рис.1)
Рисунок 1. График производной
Свойства графика производной
- На интервалах возрастания производная положительна. Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.
- На интервалах убывания производная отрицательна (со знаком минус). Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.
- Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой же точке.
- В точках максимума-минимума функции производная равна нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ОХ.
Пример 1
По графику (рис.2) производной определить, в какой точке на отрезке [-3; 5] функция максимальна.
Рисунок 2. График производной
Решение: На данном отрезке производная -- отрицательна, а значит, функция убывает слева направо, и наибольшее значение находится с левой стороны в точке -3.
Пример 2
По графику (рис.3) производной определить количество точек максимума на отрезке [-11; 3].
Рисунок 3. График производной
Решение: Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На данном промежутке функция два раза меняет знак с плюса на минус -- в точке -10 и в точке -1. Значит количество точек максимума -- две.
Пример 3
По графику (рис.3) производной определить количество точек минимума отрезке [-11; -1].
Решение: Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На данном отрезке такой точкой является только -7. Значит, количество точек минимума на заданном отрезке -- одна.
Пример 4
По графику (рис.3) производной определить количество точек экстремума.
Решение: Экстремумом являются точки как минимума, так и максимума. Найдем количество точек, в которых производная меняет знак.
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на промежутке [–5; 6]. Найдите количество точек графика f(x), в каждой из которых касательная, проведённая к графику функции, совпадает или параллельна оси абсцисс
На рисунке изображён график производной дифференцируемой функции y = f(х).
Найдите количество точек графика функции, принадлежащих отрезку [–7; 7], в которых касательная к графику функции параллельна прямой, заданной уравнением у = –3х.
Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат - расстояние s в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).
На рисунке изображены участки графика функции y=f(х) и касательной к нему в точке с абсциссой х = 0. Известно, что данная касательная параллельна прямой, проходящей через точки графика с абсциссами х = -2 и х = 3. Используя это, найдите значение производной f"(о).
На рисунке изображён график y = f’(x) - производной функции f(x), определённой на отрезке (−11; 2). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Материальная точка движется вдоль прямой от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат - расстояние от начального положения точки(в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.
Функция у = f (x) определена на промежутке [-4; 4]. На рисунке приведен график её производной. Найдите количество точек графика функции у = f (x), касательная в которых образует с положительным направлением оси Ох угол 45°.
Функция у = f (x) определена на отрезке [-2; 4]. На рисунке дан график её производной. Найдите абсциссу точки графика функции у = f (x), в которой она принимает наименьшее значение на отрезке [-2; -0,001].
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Касательная задана уравнением y = -2x + 15. Найдите значение производной функции у = -(1/4)f(x) + 5 в точке x0.
На графике дифференцируемой функции у = f (x) отмечены семь точек: х1,..,х7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f (x) больше нуля. В ответе укажите количество этих точек.
На рисунке изображён график y = f"(х) производной функции f(х), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x-11 или совпадает с ней.
На рисунке изображён график y=f"(x)- производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x) ?
На рисунке изображён график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке х0. Касательная задана уравнением у = 1,5x + 3,5. Найдите значение производной функции у = 2f(x) - 1 в точке x0.
На рисунке приведен график y=F(x) одной из первообразных функции f (x). На графике отмечены шесть точек с абсциссами x1, x2, ..., x6. В скольких из этих точек функция y=f(x) принимает отрицательные значения?
На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат - пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, где x - расстояние от точки отсчёта (в метрах), t - время движения (в секундах). Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6 с
На рисунке изображен график первообразной у = F(x) некоторой функции у = f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество нулей функции f(x) на данном интервале.
На рисунке изображён график y = F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [- 5; 2].
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, ... x9 . Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=12t^3−3t^2+2t, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6 с.
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. найдите значение производной функции y=4*f(x)-3 в точке x0.
B8 . ЕГЭ
1. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x)в точке x0. Ответ: 2
2.
Ответ:-5
3.
На интервале (–9;4).
Ответ:2
4.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0 Ответ: 0,5
5. Найдите точку касания прямой y = 3x + 8 и графика функции y = x3+x2-5x-4. В ответе укажите абсциссу этой точки. Ответ: -2
6.
Определите количество целочисленных значений аргумента, при которых производная функции f(x) отрицательна. Ответ: 4
7.
Ответ: 2
8.
Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=5–x или совпадает с ней. Ответ: 3
9.
Интервале (-8; 3).
Прямой y = -20. Ответ: 2
10.
Ответ: -0,5
11
Ответ: 1
12. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: 0,5
13. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -0,25
14.
Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = x+7 или совпадает с ней. Ответ: 4
15
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -2
16.
интервале (-14;9).
Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-12;7]. Ответ: 3
17
на интервале (-10;8).
Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-9;7]. Ответ: 4
18. Прямая y = 5x-7 касается графика функции y = 6x2 + bx-1 в точке с абсциссой меньше 0. Найдите b. Ответ: 17
19
Ответ: -0,25
20
Ответ:
6
21. Найдите касательную к графику функции y=x2+6x-7, параллельную прямой y=5x+11. В ответе укажите абсциссу точки касания. Ответ: -0,5
22.
Ответ:
4
23. f "(x) на интервале (-16;4).
На отрезке [-11;0] найдите количество точек максимума функции. Ответ: 1
B8 Графики функции, производных функций. Исследование функций . ЕГЭ
1.
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x)в точке x0.
2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 5).
В какой точке отрезка [-5; -1] f(x) принимает наименьшее значение?
3. На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной
На интервале (–9;4).
Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x)параллельна прямой
y = 2x-17 или совпадает с ней.
4. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0
5. Найдите точку касания прямой y = 3x + 8 и графика функции y = x3+x2-5x-4. В ответе укажите абсциссу этой точки.
6. На рисунке изображён график функции y = f(x), определенной на интервале (-7; 5).
Определите количество целочисленных значений аргумента, при которых производная функции f(x) отрицательна.
7. На рисунке изображён график функции y=f "(x), определенной на интервале (-8; 8).
Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-4; 6].
8. На рисунке изображён график функции y = f "(x), определенной на интервале (-8; 4).
Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=5–x или совпадает с ней.
9. На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной на
Интервале (-8; 3).
Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна
Прямой y = -20.
10. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
11 . На рисунке изображён график производной функции f(x), определенной на интервале (-9;9).
Найдите количество точек минимума функции $f(x)$ на отрезке [-6;8]. 1
12. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
13. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
14. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6;8).
Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = x+7 или совпадает с ней.
15 . На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
16. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на
интервале (-14;9).
Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-12;7].
17 . На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной
на интервале (-10;8).
Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-9;7].
18. Прямая y = 5x-7 касается графика функции y = 6x2 + bx-1 в точке с абсциссой меньше 0. Найдите b.
19 . На рисунке изображен график производной функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
20 . Найдите количество точек на интервале (-1;12), в которых производная изображенной на графике функции y = f(x), равна 0.
21. Найдите касательную к графику функции y=x2+6x-7, параллельную прямой y=5x+11. В ответе укажите абсциссу точки касания.
22. На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество целых точек интервала (-2;11), в которых производная функции f(x) положительна.
23. На рисунке изображен график функции y= f "(x) на интервале (-16;4).
На отрезке [-11;0] найдите количество точек максимума функции.
Далее в классе целесообразно рассмотреть ключевую задачу: по приведенному графику производной ученики должны придумать (конечно же, с помощью учителя) различные вопросы, относящиеся к свойствам самой функции. Естественно, что эти вопросы обсуждаются, в случае необходимости корректируются, обобщаются, фиксируются в тетради, после чего наступает этап решения этих заданий. Здесь необходимо добиться того, чтобы ученики не просто давали правильный ответ, а умели его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.
Приведем пример такой задачи: на доске (например, с помощью проектора) учащимся предлагается график производной, по нему было сформулировано 10 заданий (не совсем корректные или дублирующие вопросы отвергались).
Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6].
По графику производной y = f"(x) определите:
1) количество промежутков возрастания функции y = f(x);
2) длину промежутка убывания функции
y = f(x);
3) количество точек экстремума функции
y = f(x);
4) точку максимума функции y = f(x);
5) критическую (стационарную) точку функции y = f(x), которая не является точкой экстремума;
6) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение на отрезке ;
7) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [–2; 2];
8) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная перпендикулярна оси Oy;
9) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная образует с положительным направлением оси Ox угол 60°;
10) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой угловой коэффициент касательной принимает наименьшее значение.
Ответ
: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Для закрепления навыков исследования свойств функции на дом ученикам можно предложить задачу, связанную с чтением одного и того же графика, но в одном случае - это график функции, а в другом - график ее производной.
Статья опубликована при поддержке форума сисадминов и программистов. На "CyberForum.ru" Вы найдёте форумы о таких темах, как программирование, компьютеры, обсуждение софта, web-программирование, наука, электроника и бытовая техника, карьера и бизнес, отдых, человек и общество, культура и искусство, дом и хозяйство, авто, мото и многое другое. На форуме Вы сможете получить бесплатную помощь. Подробнее Вы узнаете на сайте, который располагается по адресу: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/ .
Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 5]. На рисунке приведен:
а) график функции y = f(x);
б) график производной y = f"(x).
По графику определите:
1) точки минимума функции y = f(x);
2) количество промежутков убывания функции y = f(x);
3) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой она принимает наибольшее значение на отрезке ;
4) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси Ox (или совпадает с ней).
Ответы
:
а) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
б) 1) –2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Для проведения контроля можно организовать работу в парах: каждый учащийся заранее заготавливает на карточке своему партнеру график производной и ниже предлагает 4–5 вопросов на определение свойств функции. На уроках они обмениваются карточками, выполняют предложенные задания, после чего каждый проверяет и оценивает работу партнера.
